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大二数据结构(图)
阅读量:375 次
发布时间:2019-03-04

本文共 1678 字,大约阅读时间需要 5 分钟。

图论基础 - 概念、储存结构与遍历方法

一、概念

图论是研究图的结构、性质及其应用的学科。图主要由顶点和边组成,具体定义如下:

  • 顶点 (Vertex):顶点的有穷非空集合,记作 V
  • 边 (Edge)弧 (Arc):顶点之间的关系集合,记作 EE'
  • 无向图:边没有方向,表示为 G
  • 有向图:边具有方向,表示为 G'Digraph (简称 DGraph)

图的基本术语

  • 顶点数:图中顶点的总数记为 n
  • 边数:图中边的总数记为 m
  • 无向完全图:每对顶点之间有一条边,边数为 n(n-1)/2
  • 有向完全图:每对顶点之间有两条边(一条从A到B,一条从B到A),边数为 n(n-1)
  • 稀疏图:边数远小于顶点数的平方(即 m < n²)。
  • 稠密图:边数接近或超过顶点数的平方(即 m ≈ n²)。
  • 带权图:边具有权重,用于表示边的重要性或成本。
  • 图的性质

  • 连通图:图中存在一条路径使得任意两个顶点之间都可以相连。
  • 连通分量:无向图中最大连通子图。
  • 强连通图:有向图中任意两个顶点之间都存在路径。
  • 生成树:包含所有顶点且边最少的连通子图,边数为 n-1

  • 二、图的储存结构

    邻接矩阵法

    邻接矩阵是图的最常见储存方法,适用于边稠密图。

    特点

  • 无向图:邻接矩阵为对称矩阵,边被双重记录。
  • 有向图:邻接矩阵不对称,每条边单独记录。
  • 优点
    • 顶点度数直接从矩阵中获取。
    • 判断邻接关系简单,仅需访问矩阵对应位置。
    • 增加删除边操作简单。
    • 存储空间与顶点数相关,与边数无关。
  • 缺点
    • 删除顶点需要重构矩阵,操作复杂。
    • 统计边数需要遍历整个矩阵,时间复杂度为 O(n²)
    • 空间复杂度为 O(n²)
  • 邻接矩阵示例

    • 有向图 G1 邻接矩阵示例:
    [0, 1, 0, 0][0, 0, 1, 0][0, 0, 0, 1][0, 0, 0, 0]
    • 无向图 G2 邻接矩阵示例:
    [0, 1, 0, 1][0, 0, 1, 1][0, 0, 0, 1][0, 0, 0, 0]

    邻接表法

    邻接表适用于边稀疏图,通过链表存储边。

    特点

  • 无向图
    • 每个顶点的边存储在链表中。
    • 顶点度数等于链表长度。
    • 判断邻接关系需要遍历链表。
  • 有向图
    • 同一条边在两个顶点的链表中各存储一次。
    • 查找反向边较为困难。
  • 优点
    • 增加删除边操作直接。
    • 度数统计简单。
    • 存储空间与顶点数和边数相关。
  • 缺点
    • 增加删除边需要链表操作。
    • 查找反向边不便。
  • 邻接表结构

    • 顶点结点
    | data | firstarc |
    • 边结点
    | adjvex | info | nextarc |

    三、图的遍历

    深度优先遍历(DFS)

  • 算法描述
    • 从起始顶点开始,访问所有未被访问的邻接顶点,递归深入。
    • 使用 visited 数组记录访问状态,避免重复访问。
  • 实现示例(邻接表):
  • void DFS(G, v) {    标记 v 为已访问    遍历 v 的所有邻接边        如果邻接顶点未被访问            调用 DFS}
    1. 时间复杂度
      • 最坏情况: O(n²)(稠密图)。
      • 平均情况: O(n)(稀疏图)。
    2. 广度优先遍历(BFS)

    3. 算法描述
      • 从起始顶点开始,层序访问所有邻接顶点。
      • 使用队列记录当前层的顶点,逐层扩展。
    4. 实现示例(邻接表):
    5. void BFS(G, v) {    初始化队列,将 v 加入队列    标记 v 为已访问    while 队列不为空        取出队列顶点 u        遍历 u 的所有邻接边            如果邻接顶点未被访问                标记为已访问                加入队列}
      1. 时间复杂度
        • 最坏情况: O(n²)(稠密图)。
        • 平均情况: O(n + e)(稀疏图)。

      2. 四、总结

        图论的核心在于理解图的结构及其遍历方法。邻接矩阵和邻接表是两种常见的储存结构,适用于不同场景。无论是深度优先遍历还是广度优先遍历,其核心目标都是访问图中的所有顶点。选择合适的算法和结构,能够有效地解决实际问题。

    转载地址:http://xtfg.baihongyu.com/

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